Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,$

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zⁿ = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

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Obtención[editar · editar fuente]

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

$e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x$

aplicando leyes de la exponenciación

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .\,$

Entonces, por la fórmula de Euler,

$e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx)\,$ .

Algunos resultados[editar · editar fuente]

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

$e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x$

Si hacemos que $x=\pi$ entonces tenemos la fórmula de Euler:

$e^{i\pi} = \cos \pi + \mathrm{i}\,\sin \pi=-1+0=-1$

Es decir:

$e^{i\pi}=-1 \,$

Además como tenemos estas dos igualdades:

$e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x \,$

$e^{-ix} = \cos x - \mathrm{i}\,\sin x \,$

podemos deducir lo siguiente:

$\cos x = ( e^{ix} + e^{-ix} ) / 2 \,$

$\sin x = ( e^{ix} - e^{-ix} ) / 2\mathrm{i}\,$

Demostración por inducción[editar · editar fuente]

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,$

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \mbox{por la hipótesis de inducción}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mbox{por las identidades trigonométricas} \end{alignat}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que $\cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1$ , y (por convención) $z^0 = 1$ .

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{alignat}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización[editar · editar fuente]

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

$\left(\cos z + i\sin z\right)^w$

es una función multivaluada mientras

$\cos (wz) + i \sin (wz)\,$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

$\cos (wz) + i \sin (wz) \,$ es un valor de $\left(\cos z + i\sin z\right)^w\,$ .

Aplicaciones[editar · editar fuente]

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right)$

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.

Potencia[editar · editar fuente]

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

$z^n = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^n = r^n \left[ \cos (nx) + i\sin (nx) \right]$

Raices[editar · editar fuente]

Para obtener las $n$ raíces de un número complejo, se aplica:

$z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$