Multiplicación

Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación.

Propiedad conmutativa:
3×4 = 12 = 4×3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). Es una operación diferente de la suma, pero equivalente; no es igual a una suma reiterada, sólo son equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar o número que se está multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos), pero puede ser útil cuando se ocupa para referirse al multiplicador de una expresión algebraica (ej: en "a²b + a²b + a²b" ó "3a²b", 3 es el multiplicador, mientras que "a²b" es el multiplicando).

En álgebra moderna se suele usar la denominación "cociente" o "multiplicación" con su notación habitual"·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en unanillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. La operación inversa de la multiplicación es la división.

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Notación[editar · editar fuente]

La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes [] o llaves { }. Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas).

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

$1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$

mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:

$2\cdot 4\cdot 6 \cdots 100$ .

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:

$1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100$

En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).

Esto se define así:

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.$

El subíndice $i \,$ indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo ( $m \,$ , indicado en el subíndice) y un valor máximo ( $n \,$ , indicado en el superíndice).

Definición[editar · editar fuente]

Cuatro bolsas de tres globos da un total de doce globos (3×4=12).

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

$\sum_{k=1}^n m=mn$

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10
2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
m·5 = m + m + m + m + m = 5m

El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente.

Definición recursiva[editar · editar fuente]

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Propiedades[editar · editar fuente]

Multiplicación de números del 0 al 10. Cada línea trazada representa un multiplicando. Eje x = multipliadores. Eje y = productos.

Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

$x\cdot y = y\cdot x$

Propiedad asociativa

Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.

$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)$

Propiedad distributiva

El total de la suma de dos números multiplicado por un tercer número es igual a la suma de los productos entre el tercer número y cada sumando.

$x\cdot(y + z) = (x\cdot y) + (x\cdot z)$

Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad.

$x\cdot 1 = x$

Elemento cero (absorbente)

Cualquier número multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación.

$x\cdot 0 = 0$

$0\cdot x = 0$

Negación

Menos uno multiplicado por cualquier número es igual al opuesto de ese número.

$(-1)\cdot x = (-x)$

Menos uno multiplicado por menos uno es uno.

$(-1)\cdot (-1) = 1$

El producto de números naturales no incluye números negativos.

Elemento inverso: Todo número x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, $\frac{1}{x}$ , tal que $x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1$ .

Producto de números negativos[editar · editar fuente]

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores denúmeros: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

Conexión con la geometría[editar · editar fuente]

Desde un punto de vista puramente geométrico, la multiplicación entre 2 valores produce un área que es representable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable. Y en general el producto de cualquier número de valores mayores de 0 produce un resultado geométrico representable sea éste más o menos intuitivo y más o menos fácil de representar

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martes, 6 de agosto de 2013

MULTIPLICACION